Nach einer Ausbildung zum Dekorateur und Einzelhandelskaufmann erhielt Martin Leutgeb eine private Schauspielausbildung bei Emo Cingl, Grete Fröhlich und Sonja Höfer-Wlasak. Zudem nahm er auch Gesangsunterricht. Es folgten ab 1991 erste Bühnenstationen an das Tiroler Landestheater in Innsbruck (1991–1994), das Salzburger Landestheater (1994–1999) und das Staatstheater in Saarbrücken (1999–2005). Von 2005 bis 2011 war Martin Leutgeb Ensemblemitglied am Staatstheater in Stuttgart.